L'équation de Tsiolkovski : pourquoi une fusée est surtout du carburant
Une formule publiée en 1903, un logarithme impitoyable, et la raison pour laquelle un lanceur de 780 tonnes n'envoie qu'une dizaine de tonnes vers l'orbite géostationnaire.
En mai 1903, un enseignant russe de province, Konstantin Tsiolkovski, publie dans la revue russe Naoutchnoïé Obozrénié une étude sur l'exploration de l'espace par des engins à réaction. Il y donne la relation qui gouverne encore la conception de tous les lanceurs. D'autres l'avaient écrite avant lui, comme le mathématicien britannique William Moore dès 1810, et Robert Goddard puis Hermann Oberth la retrouveront de leur côté ; mais Tsiolkovski est le premier à en tirer les conséquences pour le vol spatial. Elles se résument d'une phrase : pour aller vite, une fusée doit être presque entièrement faite de carburant.
Avancer en s'allégeant
Le principe est celui du recul. Une fusée projette vers l'arrière des gaz très chauds et très rapides ; par conservation de la quantité de mouvement, elle est poussée vers l'avant. À chaque instant, elle perd la masse du propergol qu'elle vient de brûler. En additionnant ces petites poussées appliquées à une masse qui diminue, on obtient l'équation de Tsiolkovski :
\Delta v = v_e \ln \frac{m_0}{m_f}
Ici, \Delta v est le gain de vitesse, v_e la vitesse d'éjection des gaz, m_0 la masse au départ, réservoirs pleins, et m_f la masse une fois le propergol consommé. Le quotient m_0/m_f s'appelle le rapport de masse.
Tout se joue dans le logarithme. Doubler le rapport de masse n'ajoute que v_e \ln 2, soit environ 0,7 fois la vitesse d'éjection. Pour gagner deux fois v_e, il faut un rapport de masse d'environ 7,4 (e^2) ; pour trois fois v_e, d'environ 20 (e^3). Chaque kilomètre par seconde supplémentaire coûte plus cher que le précédent.
L'impulsion spécifique, la note d'un moteur
Les motoristes expriment la vitesse d'éjection sous la forme de l'impulsion spécifique, notée I_{sp} et mesurée en secondes : v_e = I_{sp} \, g_0, où g_0 \approx 9{,}81 m/s² est la pesanteur standard. Plus elle est élevée, moins le moteur consomme pour une même poussée.
La NASA propose un calcul d'ordre de grandeur. Pour un moteur à hydrogène et oxygène liquides, une impulsion spécifique d'environ 350 s est réaliste, soit une vitesse d'éjection voisine de 3,4 km/s. Une orbite basse, vers 320 km d'altitude, demande environ 7,6 km/s. Le rapport de masse nécessaire est alors proche de 10 : environ 90 % de la masse au décollage est du propergol. Une fois comptés les réservoirs, les moteurs et la structure, il ne reste qu'environ 1 % pour la charge utile. Et ce calcul idéal oublie la pesanteur et la traînée de l'air pendant la montée, qui alourdissent encore la facture.
Les étages, ou l'art de jeter du poids
Tsiolkovski avait aussi entrevu le remède : ses « trains de fusées ». Plutôt que d'emporter jusqu'en orbite des réservoirs vides, on les abandonne en route. L'équation s'applique alors étage par étage, la masse de départ de chaque étage étant allégée de tout ce qui a été largué. Les gains de vitesse s'additionnent, et le rapport de masse global devient le produit des rapports de chaque étage.
Le lanceur européen Ariane 5 ECA en donne un exemple chiffré. Selon l'ESA, il pesait environ 780 tonnes au décollage. Ses deux propulseurs à poudre fournissaient l'essentiel de la poussée initiale ; l'étage principal emportait environ 150 tonnes d'oxygène liquide et 25 tonnes d'hydrogène liquide, brûlées par le moteur Vulcain 2 pendant près de 540 secondes ; l'étage supérieur ajoutait encore 14,7 tonnes d'ergols. Au bout du compte, la charge utile envoyée en orbite de transfert géostationnaire atteignait environ 10 tonnes, soit à peine 1,3 % de la masse au départ.
Et sur Terre ?
Le même logarithme gouverne l'aviation : l'équation de Breguet, qui donne la distance franchissable d'un avion, fait intervenir le logarithme du rapport entre sa masse au décollage et sa masse à l'atterrissage. Chaque kilogramme gagné sur la structure et chaque progrès d'efficacité des moteurs se traduisent directement en kilomètres ou en carburant économisé.
L'équation explique aussi l'intérêt actuel pour la réutilisation des étages et pour le ravitaillement en orbite. Faire le plein une fois en orbite revient à repartir avec un rapport de masse neuf, sans avoir à hisser tout ce propergol depuis le sol. Les techniques qui permettent de conserver longtemps de l'hydrogène liquide sans évaporation, indispensables à de tels dépôts, servent dès aujourd'hui la filière hydrogène dans les ports et les stations (voir la marche I-OUT-01).
Le mur du logarithme
Pour le voyage interstellaire, l'équation est sans appel. Avec quelques kilomètres par seconde de vitesse d'éjection, aucune fusée chimique ne peut approcher une fraction notable de la vitesse de la lumière, quel que soit le nombre d'étages. Il ne reste que deux voies : éjecter beaucoup plus vite, grâce à l'électricité, à la fission ou à la fusion, ou bien laisser le carburant au sol et pousser le vaisseau avec de la lumière. Les chercheurs explorent aujourd'hui l'une et l'autre, et chacune pose ses propres défis, de la masse des réacteurs à la tenue des voiles sous un faisceau laser.